mercoledì 17 ottobre 2012

Gli errori si possono calcolare


Misurando n volte una stessa grandezza fisica “x” con uno strumento sufficientemente sensibile si hanno risultati x1, x2, x3, …..xn in genere diversi tra loro. Poiché è molto probabile che il valore più corretto si trovi tra i valori minimo e massimo ottenuti, appare logico accettare come risultato della misura la loro media aritmetica
Xm= x1+x2+ …….xn/ n (somma delle misure diviso numero delle misure).
Pertanto una volta misurato il valore medio Xm possiamo ricavarci il suo errore che corrisponde alla metà della differenza tra i due valori estremi. Questo errore è chiamato errore assoluto massimo Ea detto anche semidispersione massima cioè la semidifferenza tra il valore massimo e quello minimo. Concludendo ci fa capire di quanto abbiamo sbagliato nel misurare quell’oggetto.
La formula è la seguente : Ea = (Xmax –Xmin) / 2
Possiamo esprimere quindi il risultato della misura scrivendo il valore medio + – l’incertezza della misura (errore assoluto)
X=(Xm +- Ea)unità di misura
Da ricordare inoltre nel caso in cui l’incertezza ricavata fosse più piccola dello strumento adoperato si tiene conto dell’incertezza dello strumento. Ad esempio se misuro con un righello in cui la sensibilità è un millimetro quindi 0,1 e con i calcoli ottengo 0,04 prenderò in considerazione 0,1 incertezza dello strumento.
Se vogliamo sapere di quanto è precisa una misura utilizziamo  l’errore relativo percentuale ovvero (Ea/Xm) *100
Ma nel caso di misure indirette quindi attraverso  una formula matematica l’incertezza come la calcoliamo?
“L’Incertezza (errore assoluto) sulla somma o differenza di dati sperimentali è uguale alla somma delle corrispondenti incertezze”
esempio: (2,5+-0,1)cm+(3,3+-0,1)cm =(5,8+-0,2)cm
e per trovare l’errore relativo Er=Ea(0,2)/Xm      Ea= Ea grandezza a + Ea grandezza B
“L’incertezza relativa sul prodotto o sul quoziente di due misure è uguale alla somma delle incertezze relative sulle singole misure”
pertanto per trovare l’errore assoluto si  trovano prima gli errori relativi si sommano e si moltiplica per il valore medio
Ea=Er* Xm                     Er= Er grandezza A + Er grandezza B

L’incertezza delle misure


In fisica a differenza  della matematica che è una disciplina essenzialmente teorica, esistono soltanto valori approssimati delle misure per cui non ha senso parlare di misura esatta di una grandezza fisica. Quindi possiamo affermare che ogni misura è affetta da un’incertezza che può essere più o meno grande.
Gli errori che si  commettono in ogni operazione di misura possono essere di due tipi: errori casuali ed errori sistematici.
Gli errori casuali o accidentali non sono prevedibili e hanno l’effetto di aumentare o diminuire di poco e in maniera casuale il valore della misura. Se questa è eseguita più volte gli errori tendono, perciò, a compensarsi. Un errore che è molto facile da compiere è il cosiddetto errore di parallasse ovvero quando si fa la lettura della misura di uno strumento con indice o di una misura di un liquido su scala graduata.
Gli errori sistematici possono dipendere, invece, dal tipo di strumenti utilizzati, dalla loro non perfetta taratura, ma anche dal metodo sperimentale eseguito. Gli errori sistematici si ripetono sempre identici e alterano il risultato, ma sono eliminabili se individuati.

martedì 16 ottobre 2012

Gli strumenti


Gli strumenti di misura  possono essere analogici o digitali.
- In un strumento analogico il valore della misura si legge su una   scala graduata. Ad esempio una sveglia con le lancette, un tachimetro, un amperometro, ecc.







- In un strumento digitale il valore della misura appare come una sequenza di cifre. Ad esempio un orologio digitale, un calibro digitale, un multimetro digitale, ecc.







La portata di uno strumento è il più grande valore della grandezza che lo strumento può misurare. Negli strumenti analogici la portata è uguale al numero più grande scritto sulla scala. Negli strumenti digitale la portata è scritto sullo strumento ad esempio in una bilancia elettronica con la scritta 300 gr o in voltmetro dove le portate possono essere addirittura più di una.
La sensibilità di uno strumento è il più piccolo valore della grandezza che lo strumento può distinguere. Ad esempio in un righello la sensibilità e il millimetro, in un contachilometri di un’auto saranno le centinaia di metri, in una bilancia elettronica il grammo, ecc.
La prontezza di uno strumento indica la rapidità con cui esso risponde a una variazione della quantità da misurare. Ad esempio un tachimetro fornisce da subito la velocità istantanea dell’automobile, mentre il termometro sarà meno pronto nel fornire la temperatura di un corpo.
L'accuratezza di uno strumento è l'attitudine di uno strumento di misura a dare indicazioni prive d'errori sistematici, e tendenti al valore vero del misurando,
I trasduttori sono dispositivi che permettono di misurare una grandezza A attraverso la misura di una grandezza diversa B. Ad esempio l’orologio trasforma l’ampiezza di un angolo in un tempo, il termometro trasforma il valore di una lunghezza in un valore di  temperatura, pensiamo ai convertitori analogici/digitali, corrente/tensione, ecc.


sabato 13 ottobre 2012

Le grandezze proporzionali


Definiamo prima di tutto che una proporzione è una uguaglianza di rapporti.   esempio: 4:2 = 8:4 (a:b=c:d) che si traduce come 4 sta a 2 come 8 sta a 4; entrambi danno come risultato  2.
Una grandezza proporzionale può essere diretta, inversa, quadratica diretta ed inversa.
Proporzionalità diretta: in generale, due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se al raddoppio di x  anche y raddoppia, al triplicare di x anche y triplica e cosi via.
Le proprietà che legano x ed y sono:
 y = k  x ;            k = y / x ;       Il grafico è una retta che passa dall’origine.
 k  è detta costante di proporzionalità.                                                            vai al modello di laboratorio
spazio s (m) tempo t (s)
1
2
2
4
3
6
4
8

Proporzionalità inversa: in generale,  se x ed y sono inversamente proporzionali quando x raddoppia, y diventa la metà; al triplicare di  x , y diventa un terzo…
le proprietà che legano x ed y sono:
y=k / x;                  k=x y               il grafico è un iperbole.
tempo t (s) velocità v (m/s)
4 24
8 12
12 8
16 6

Proporzionalità quadratica diretta  e inversa: in generale si dice  proporzionale qudratica diretta se y è direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza x  ovvero  se x raddoppia, y diventa quattro volte più grande; se x triplica, y diventa nove volte più grande…
le proprietà che legano x ed y sono:
y=k  x2                      k = y / x2               il grafico è un arco di parabola.
spazio s (m) tempo t (s)
4
2
16
4
36
6
64
8

si dice proporzionalità quadratica inversa  quando y è inversamente proporzionale al quadrato di una grandezza x se è costante il prodotto tra y  e x2. Pertanto se x raddoppia, y diventa quattro volte più piccolo, quando x triplica, y diventa nove volte più piccola….
la proprietà che lega x ed y è :  y = k / x2.
accelerazione a (m/s2) spazio s (m) tempo t (s)
10 10 1
2,5 10 2
1,111 10 3
0,039 10 4

I grafici

per approfondire clicca qui
Un sistema di coordinate cartesiano ortogonale in due dimensioni è semplicemente chiamato piano cartesiano, ed è costituito da:
  • l'asse delle ascisse costituisce la retta di riferimento, che Oresme chiamava latitudo, (solitamente caratterizzata dalla lettera x);
  • l'asse delle ordinate costituisce la retta ortogonale alla retta di riferimento, che Oresme chiamava longitudo, (solitamente caratterizzata dalla lettera y);
  • l'origine, il punto nel quale le due rette si incontrano.
Il sistema costituito dalla coppia dei due assi orientati (e implicitamente dall'origine) consente di individuare ogni punto del piano con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente ascissa e ordinata del punto che rappresentano le distanze del punto rispettivamente dall'asse y (ordinata) e dall'asse x (ascissa).
Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario:
  • I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive;
  • II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva;
  • III quadrante: comprende punti aventi ascissa ed ordinata negative;
  • IV quadrante: comprende punti aventi ascissa positiva ed ordinata negativa.
Il piano cartesiano permette di rappresentare graficamente funzioni di due variabili del tipo y=f (x)  in cui x è la variabile indipendente e y la variabile dipendente. Ciò permette di visualizzare la "forma" di curve e risolvere graficamente sistemi di più equazioni come intersezioni tra le curve corrispondenti.

Interessante soffermarci sulla interpolazione ed estrapolazione: l’interpolazione permette di trovare  valori a noi sconosciuti all’interno dei valori noti sia sull’asse dell’ascisse che dell’ordinate; l’estrapolazione invece permette di trovare i valori che non sono in tabella  ad esempio un prolungamento di una retta oltre i valori dati, questo può risultare pericoloso in quanto nei casi reali può danneggiare lo strumento o il materiale in uso.  (per appfondire clicca qui)

Per finire parliamo degli errori nei grafici, intanto si differenziano i grafici di una tabella di misure e i grafici di una funzione perchè nelle prime per quanto precisi possiamo essere sarà dato sempre una misura con errore, quindi  un grafico gli errori possiamo rappresentarli  con un quadratino che racchiude i valori detto range dell'incertezza, infine in caso di errore molto piccolo il quadratino si riduce ad un segmento!

La pendenza di una retta è il rapporto tra la variazione dell' ordinata e l'incremento dell'ascissa. 
Ad esempio in un rapporto tra spazio e tempo la pendenza ci da la velocita, quindi più è inclinata meno tempo impiego per  spostarmi.


giovedì 4 ottobre 2012

La rappresentazione di un fenomeno


Mediante una tabella: se la l’acqua fuoriesce da un rubinetto  con flusso costante nel tempo, la quantità d’acqua e la variabile dipendente e il  tempo la variabile
indipendente.
esempio  tabella 1
Tempo (min) 0 1 2 3
Quantità (litri) 0 2 4 6
dalla tabella si legge che ad ogni minuto fuoriescono due litri d’acqua a flusso costante.

- Mediante una formula: permette di calcolare la quantità d’acqua fuori uscita in un istante generico t, si trasforma da un linguaggio matematico a un fenomeno fisico che si svolge nel tempo stabilendo un legame fra quantità q  tempo t. es. q=2t (2 perché fuoriescono due litri al minuto).
-Mediante un grafico: i fenomeni possono essere rappresentati usando dei grafici ad esempio se prendiamo la tabella di cui sopra, assegnando sull’asse delle ascisse il tempo (variabile indipendente) e sulle ordinate la quantità di acqua (variabile dipendente) otteniamo una retta passando dall’origine.
Concludendo possiamo affermare che  la formula fornisce più informazioni.
Con le analogie possiamo studiare fenomeni diversi allo stesso modo, perché descrivibili con lo stesso stessa relazione: y=k*x
y=variabile dipendente;
k=costante;
x=variabile indipendente.

domenica 30 settembre 2012

L’incertezza di una misura

Ogni volta che si effettua una misura si introducono diversi tipi di errori e quindi il valore che otteniamo è da considerarsi incerto.

In ogni misura ci possono essere due tipi di errori:

- Gli errori accidentali o causali sono dovuti al caso, non sono prevedibili, effettuando più volte la misura gli errori tendono a compensarsi. Un errore molto frequente in laboratorio e il cosiddetto errore di parallasse.

- Gli errori sistematici possono dipendere, invece dal tipo di strumenti utilizzati, dalla loro non perfette taratura, ma anche dal metodo sperimentale seguito. A  differenza degli errori casuali, che tendono a compensarsi eseguendo più volte la stessa misura, gli errori sistematici si ripetono sempre identici e alterano il risultato.

- Il risultato di una misura non è mai il valore esatto di una grandezza , ma deve essere associato a un errore, come ad esempio all’incertezza dello strumento pertanto quando scriveremo una misura ad  esempio lunghezza  1,5 cm (misura con righello) scriveremo 1,5 cm + –  0,1 cm ovvero la misura da noi ottenuta può variare da 1,4 cm a 1,6 cm.

- Il valore medio non è altro che il rapporto tra la somma delle misure ripetute e il numero delle misure, ovvero:

Vm=somma delle misure / numero delle misure;    m1 + m2 + m3.. / 3..

 

- La semidispersione massima o errore assoluto si ottiene dalla differenza (delle misure effettate) del valore più grande e del valore più piccolo diviso  due, Ea o SD = (Vmax – Vmin) / 2

- L’errore relativo  Er  indica la precisione di una misura ed è il rapporto fra l’errore assoluto e il valore medio Er= Ea/Vm  (da ricordare che l’errore relativo non ha unità di misura perché è un rapporto fra grandezze omogenee.

- L’errore relativo percentuale Er% = Er *100

Grandezze fisiche e loro misure

La fisica studia i fenomeni naturali in cui certe grandezze subiscono dei cambiamenti,  mentre altre rimangono costanti nel tempo.
Per descrivere un fenomeno non basta fare osservazioni qualitative (per metodi qualitativi si intende un insieme di tecniche utilizzate in ambito disciplinare, senza l'ausilio di formule, modelli matematici e/o statistiche) ma occorrono osservazioni quantitative ovvero utilizzare degli strumenti che permettono di misurare grandezze come il peso, la velocita, l’altezza. Le grandezze che si possono misurare si chiamano grandezze fisiche.
Una grandezza si dice scalare quando è espressa in modo completo con un numero e la sua unità di misura.
Una grandezza si dice vettoriale quando è espressa in modo completo con un numero e la sua unità di misura aggiungendo la direzione e il verso.
Misurare significa confrontare l’unità di misura scelta con la grandezza da misurare e contare quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza.

Le unità di misura
Per uniformare tutte le unità di misura è stato creato il Sistema Internazionale  (SI) di misura entrato in vigore il primo gennaio 1978,  il SI è formato da sette grandezze fisiche fondamentali:
Nome Unità di misura Simbolo
lunghezza metro m
massa kilogrammo kg
tempo secondo s
temperatura kelvin K
intensità corrente elettrica ampere A
intensità luminosa candela cd
quantità di sostanza mole mol
Le grandezze derivate: di seguito alcune grandezze derivate per una visione completa cliccare qui
GRANDEZZA DERIVATA UNITA’ DI MISURA SIMBOLO
area (A) metro quadrato
volume (V) metro cubo m
forza (F) Newton N (kg m/s²)
pressione (P) Pascal Pa (kg m/s²)
energia (E) Joule J (Kg m²/s²)
densita’ (d) chilogrammo su metro cubo kg/m3
multipli e sottomultipli delle unità di misura
   fattore di moltiplicazione                                prefisso
          nome                                         simbolo
1.000.000.000.000.000=1015 peta              P
1.000.000.000.000=1012 tera              T
1.000.000.000=109 giga              G
1.000.000=106 mega              M
1.000=103 kilo              K
100=102 etto              h
10=101 deca              da
unità di misura unità di misura     unità di misura
0,1=10-1 deci              d
0,01=10-2 centi              c
0,001=10-3 milli              m
0,000 001=10-6 micro                   m
0,000 000 001=10-9 nano              n
0,000 000 000 001=10-12 pico               p
0,000 000 000 000 001=1015 femto               f
La notazione scientifica
Quando il risultato di una misurazione è espresso mediante il prodotto di un numero, la cui parte intera sia compresa fra 1 e 9, e di una potenza in base 10, si dice che è scritto nella notazione esponenziale scientifica.
esempi:
187.000 = 1,87 . 105                    4.235.000 = 4,235 .106
0,0038 = 3,8 . 10-3                      0,000076 = 7,6 . 10-5
Arrotondamento di un numero
Per arrotondare un numero a n decimali si guarda la cifra successiva alla ennesima: se minore di 5 la cifra viene eliminata assieme a quelle che la seguono e la precedente rimane identica;
se maggiore o uguale a 5 la cifra viene eliminata e la precedente e la precedente si aumenta di 1
esempi:
3,345 arrotondare a due cifre decimali = 3,35
3,344 arrotondare a due cifre decimali =3,34
Le cifre significative
"Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta" ad esempio  1135 kg le cifre certe sono 1135 quella incerta è il 5 ovvero non esatta. Se vogliamo avere come cifra esatta il 5 scriveremo 1135,0.
Da ricordare che lo 0 all'inizio non è significativa ad esempio  0,456 le cifre significative sono tre.

Introduzione: il metodo sperimentale


Questo blog è dedicato non solo agli studenti ma a tutte quelle persone che non si fermano alla pura lezione frontale ma predilige il metodo sperimentale.
Il metodo sperimentale è il fondamento della fisica  ma anche di altre discipline scientifiche come la chimica o la biologia, esso  permette di analizzare un fenomeno naturale per conoscerlo in maniera oggettiva e verificabile, in modo di poterlo riprodurlo in laboratorio dopo aver formulato le relative ipotesi o teorie.

                                                                   Galileo Galilei
Con Galileo Galilei (1564-1642) è stato introdotto il metodo sperimentale: esso si basa su una prima osservazione, seguita da un esperimento, sviluppato in maniera controllata, in modo tale che si possa riprodurre il fenomeno che si vuole studiare.

Riassumendo:
1) Osservare e delimitazione del sistema;
2) Formulazione di un' ipotesi interpretativa che colleghi le Grandezze Fisiche GF in gioco;
3) Sperimentazione;
4) Elaborazione di una legge (legame matematico fra le GF).

Una precisazione, il metodo sperimentale è diviso a sua volta da due metodi: il metodo induttivo e il metodo deduttivo.
Il metodo induttivo parte dall’osservazione di un fenomeno e quindi risalire alla legge fisica che lo regola.
Il metodo deduttivo prende avvio da un principio certo e assoluto per poi ricavare le possibili conseguenze.